Question

如图，平面直角坐标系中，和为两等腰直角三角形，，C(a,0)(a>0)．设和的外接圆圆心分别为,．

（1）若⊙M与直线CD相切，求直线CD的方程；

（2）若直线AB截⊙N所得弦长为4，求⊙N的标准方程；

（3）是否存在这样的⊙N，使得⊙N上有且只有三个点到直线AB的距离为，若存在，求此时⊙N的标准方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）圆心．∴圆方程为，

直线CD方程为．          

∵⊙M与直线CD相切,∴圆心M到直线CD的距离d=,

化简得： （舍去负值）．∴直线CD的方程为．

（2）直线AB方程为：，圆心N ．

∴圆心N到直线AB距离为．  

∵直线AB截⊙N的所得弦长为4，∴．

∴a=±(舍去负值) ． ∴⊙N的标准方程为． 

（3）存在．

由（2）知，圆心N到直线AB距离为(定值)，且AB⊥CD始终成立，

∴当且仅当圆N半径,即a=4时，⊙N上有且只有三个点到直线AB的距离为．

此时， ⊙N的标准方程为．