Question

已知数列的前项和为

（1）若数列是等比数列，满足， 是，的等差中项，求数列的通项公式；

（2）是否存在等差数列，使对任意都有？若存在，请求出所有满足条件的等差数列；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设等比数列的首项为，公比为，

依题意，有即

由 得 ，解得或.

当时，不合题意舍；

当时，代入(2)得，所以， .     

（2）假设存在满足条件的数列，设此数列的公差为，则

方法1：，得

对恒成立，

则                  

解得或此时，或．

故存在等差数列，使对任意都有．其中，

或．                                         

方法2：令，，得，

令，得，                     

①当时，得或，

若，则，，，对任意都有；

若，则，，，不满足．

②当时，得或，

若，则，，，对任意都有；

若，则，，，不满足．

综上所述，存在等差数列，使对任意都有．其中，或．