Question

如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k²)x²(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

(1)求炮的最大射程.

(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.

 

Answer 1

解析：　

(1)令y＝0，得kx－(1＋k²)x²＝0，

由实际意义和题设条件知x>0，k>0，

故x＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号.

所以炮的最大射程为10千米.

(2)因为a>0，所以炮弹可击中目标⇔存在k>0，

使3.2＝ka－(1＋k²)a²成立

⇔关于k的方程a²k²－20ak＋a²＋64＝0有正根

⇔判别式Δ＝(－20a)²－4a²(a²＋64)≥0⇔a≤6.

所以当a不超过6千米时，可击中目标.

6． [2014·江苏卷]