Question

某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD用一根9米长的材料弯折而成，要求和互补，且AB=BC

(1)  设AB=x米，cosA=，求的解析式，并指出x的取值范围．

(2)  求四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

（1）在△ABD中，由余弦定理得BD²＝AB²+AD²－2AB·AD·cosA．

同理，在△CBD中，BD²＝CB²+CD²－2CB·CD·cosC． 因为∠A和∠C互补，

所以AB²+AD²－2AB·AD·cosA＝CB²+CD²－2CB·CD·cosC＝CB²+CD²＋2CB·CD·cosA．

即 x²+(9－x)²－2 x(9－x) cosA＝x²+(5－x)²＋2 x(5－x) cosA．　

解得  cosA＝，即f( x)＝．其中x∈(2，5)．　

（2）四边形ABCD的面积S＝(AB·AD+ CB·CD)sinA＝[x(5－x)+x(9－x)] ．　

＝x(7－x)  

记g(x)＝(x²－4)( x²－14x＋49)，x∈(2，5)．

由g′(x)＝2x( x²－14x＋49)＋(x²－4)( 2 x－14)＝2(x－7)(2 x²－7 x－4)＝0，

解得x＝4(x＝7和x＝－舍)．                  

所以函数g(x)在区间(2，4)内单调递增，在区间(4，5)内单调递减．

因此g(x)的最大值为g(4)＝12×9＝108．所以S的最大值为＝6．

答：所求四边形ABCD面积的最大值为6m²．