Question

3．从某企业生产的某中产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值．由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1．
（Ⅰ）求这些产品质量指标落在区间[75，85]内的概率；
（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[45，65）内的概率．

Answer 1

分析 （I）由题意，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之和，利用之比为4：2：1，即可求出这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；
（2）由频率分布直方图得从[45，65）的产品数中抽取5件，记为A，B，C，D，E，从[65，75）的产品数中抽取1件，记为a，由此利用列举法求出概率．

解答 解：（I）由题意，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之和为1-0.04-0.12-0.19-0.3=0.35，
∵质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1，
∴这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为0.35×$\frac{1}{7}$=0.05，
（Ⅱ）由频率分布直方图得：这些产品质量指标值落在区间[55，65）内的频率为0.35×$\frac{4}{7}$=0.2，
这些产品质量指标值落在区间[65，75）内的频率为0.35×$\frac{2}{7}$=0.1，
这些产品质量指标值落在区间[45，55）内的频率为0.03×10=0.30，
所以这些产品质量指标值落在区间[45，65）内的频率为0.3+0.2=0.5，
∵$\frac{0.5}{0.1}$=$\frac{5}{1}$
∴从[45，65）的产品数中抽取6×$\frac{5}{6}$=5件，记为A，B，C，D，E，从[65，75）的产品数中抽取6×$\frac{1}{6}$=1件，记为a，
从中任取两件，所有可能的取法有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，a），（B，C），（B，D），（B，E），（B，a），（C，D），（D（C，E），（C，a），（D，E），（D，a），（E，a），共15种，
这2件产品都在区间[45，65）内的取法有10种，
∴从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[45，65）内的概率$\frac{10}{15}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查概率分布在实际问题中的应用，结合了统计的知识，综合性较强，属于中档题