Question

14．数列{a_n}满足a₁=1，$\frac{1}{2{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2{a}_{n}}$+1（n∈N）
（I）求证：数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列；
（Ⅱ）设T_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，求T_n．

Answer 1

分析 （I）证明：可化简出$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2（n∈N），从而证明；
（Ⅱ）由（I）知$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，从而可得a_n=$\frac{1}{2n-1}$，从而利用裂项求和法求解即可．

解答 解：（I）证明：∵$\frac{1}{2{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2{a}_{n}}$+1（n∈N），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2（n∈N），
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
故数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，2为公差的等差数列；
（Ⅱ）由（I）知，$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
故a_n=$\frac{1}{2n-1}$，
故a_na_n+1=$\frac{1}{2n-1}$•$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
故T_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的判断与构造法的应用，同时考查了裂项求和法的应用．