Question

5．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=3，S_nS_n-1=2a_n（n≥2，n∈N^*），则S_n=$\frac{6}{5-3n}$．

Answer 1

分析 把已知数列递推式变形，可得数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以$\frac{1}{3}$为首项，以$-\frac{1}{2}$为公差的等差数列，由此可得S_n ．

解答 解：由S_nS_n-1=2a_n（n≥2，n∈N^*），得
S_nS_n-1=2（S_n-S_n-1）（n≥2，n∈N^*），
即$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}=-\frac{1}{2}$（n≥2），
又a₁=3，∴$\frac{1}{{S}_{1}}=\frac{1}{3}$，
则数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以$\frac{1}{3}$为首项，以$-\frac{1}{2}$为公差的等差数列，
则$\frac{1}{{S}_{n}}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}（n-1）=\frac{5-3n}{6}$，
∴${S}_{n}=\frac{6}{5-3n}$．
故答案为：$\frac{6}{5-3n}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题．