Question

20．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=3，S_nS_n-1=2a_n（n≥2，n∈N^*），则S_n=$\frac{6}{5-3n}$．

Answer 1

分析 分类讨论，且由不完全归纳法知S_n≠0；从而化简S_nS_n-1=2（S_n-S_n-1）为1=2（$\frac{1}{{S}_{n-1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$），从而判断出{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以$\frac{1}{3}$为首项，-$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，从而求得．

解答 解：①当n=1时，S₁=a₁=3，
②当n≥2时，S_nS_n-1=2a_n=2（S_n-S_n-1），
即S_n（S_n-1-2）=-2S_n-1，
∵S₁≠0，∴-2S₁≠0，∴S₂≠0；
∵S₂≠0，∴-2S₂≠0，∴S₃≠0；
故由不完全归纳法知，S_n≠0；
故S_nS_n-1=2（S_n-S_n-1）可化为1=2（$\frac{1}{{S}_{n-1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$），
故$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=-$\frac{1}{2}$，
又∵$\frac{1}{{S}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，
故{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以$\frac{1}{3}$为首项，-$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，
故$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2}$（n-1）=-$\frac{1}{2}$n+$\frac{5}{6}$=$\frac{5-3n}{6}$，
故S_n=$\frac{6}{5-3n}$；
故答案为：$\frac{6}{5-3n}$．

点评 本题考查了分类讨论的思想应用及归纳法的应用，同时考查了构造数列的应用．