Question

10．已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²a_n，且a₁=$\frac{1}{2}$，求数列{a_n}的通项公式a_n．

Answer 1

分析 由S_n=n²a_n，得${S}_{n-1}=（n-1）^{2}{a}_{n-1}$（n≥2），两式作差后整理可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n-1}{n+1}$（n≥2），然后利用累积法求得数列通项公式．

解答 解：由S_n=n²a_n，得${S}_{n-1}=（n-1）^{2}{a}_{n-1}$（n≥2），
两式作差得：${a}_{n}={n}^{2}{a}_{n}-（n-1）^{2}{a}_{n-1}$（n≥2），
即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n-1}{n+1}$（n≥2），
∴${a}_{n}=\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}…\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•{a}_{1}$
=$\frac{n-1}{n+1}•\frac{n-2}{n}•\frac{n-3}{n-1}…\frac{3}{5}•\frac{2}{4}•\frac{1}{3}$$a•\frac{1}{2}$
=$\frac{2}{n（n+1）}$$•\frac{1}{2}$=$\frac{1}{n（n+1）}$（n≥2）．
验证n=1时上式成立，
∴${a}_{n}=\frac{1}{n（n+1）}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了累积法求数列的通项公式，是中档题．