Question

2．已知两个等差数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为S_n和T_n，且$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=$\frac{7n+45}{n+3}$，则使得$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$为整数的正整数n的最大值是35．

Answer 1

分析 由等差数列{a_n}、{b_n}，利用等差数列的性质表示出a_n和b_n，将$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$分子分母同时乘以n，将表示出的a_n与b_n代入，再利用等差数列的前n项和公式变形，根据已知的等式化简，整理后将正整数n即可求出．

解答 解：∵等差数列{a_n}、{b_n}，
∴a_n=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2n-1}}{2}$，b_n=$\frac{{b}_{1}+{b}_{2n-1}}{2}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{n{a}_{n}}{n{b}_{n}}$=$\frac{\frac{n（{a}_{1}+{a}_{2n-1}）}{2}}{\frac{n（{b}_{1}+{b}_{2n-1}）}{2}}$=$\frac{{S}_{2n-1}}{{T}_{2n-1}}$，
又$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=$\frac{7n+45}{n+3}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{7（2n-1）+45}{（2n-1）-3}$=7+$\frac{66}{2n-4}$，
当66=2n-4时，即n=35时，$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$为整数的最大值，
故答案为：35．

点评 此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．