Question

17．已知非零向量$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$．求证：$\frac{|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$≤$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$．然后使用逆推法找出不等式成立的条件即可．

解答 证明：∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$．
要证$\frac{|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$≤$\sqrt{2}$，
只需证|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|≤$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|．
只需证|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²+2|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|≤2|$\overrightarrow{a}$|²+2|$\overrightarrow{b}$|²．
即|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²-2|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|≥0．
即（|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|）²≥0．
显然上式恒成立．

点评 本题考查了平面向量的应用，