Question

7．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}+1}{2{a}_{n}}$（n∈N^*）．设b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}+1}$．
（1）求证：b_n+1=b_n²．
（2）求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）直接由已知结合b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}+1}$证明b_n+1=b_n²．
（2）由已知得b_n＞0且b_n≠1，把b_n+1=b_n²两边取对数，得lgb_n+1=2lgb_n，可得数列{lgb_n}是以lgb₁为首项，以2为公比的等比数列，写出等比数列的通项公式后结合对数的运算性质得答案．

解答 （1）证明：∵a_n+1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}+1}{2{a}_{n}}$，且b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}+1}$．
∴${b}_{n+1}=\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n+1}+1}$=$\frac{\frac{{{a}_{n}}^{2}+1}{2{a}_{n}}-1}{\frac{{{a}_{n}}^{2}+1}{2{a}_{n}}+1}$=$\frac{（{a}_{n}-1）^{2}}{（{a}_{n}+1）^{2}}=（\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}+1}）^{2}$=${{b}_{n}}^{2}$；
（2）解：由（1）知b_n+1=b_n²，且由已知得b_n＞0且b_n≠1，
两边取对数，得lgb_n+1=2lgb_n，
∴$\frac{lg{b}_{n+1}}{lg{b}_{n}}=2$，则数列{lgb_n}是以lgb₁为首项，以2为公比的等比数列，
又$lg{b}_{1}=lg\frac{1}{3}$，
∴$lg{b}_{n}={2}^{n-1}•lg\frac{1}{3}$，则${b}_{n}=（\frac{1}{3}）^{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，考查等比数列的通项公式的求法及对数的运算性质，是中档题．