Question

18．已知圆O：x²+y²=25及点P（-3，1）．
（1）试求经过点P与圆O相交弦长等于8的直线l的方程．
（2）若经过P点的直线l与圆O相交于点A、B，试求△ABO面积达到最大值时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）根据已知可得满足条件的直线斜率不存在，进而得到答案；
（2）当AB与OP垂直时，此时钝角∠AOB取最小值，△OAB的面积为$\frac{1}{2}$OA•OB•sin∠AOB取最大值，进而得到答案．

解答 解：（1）圆O：x²+y²=25的圆心坐标为（0，0），半径为5，
圆心到P点的距离为3，
若直线l被圆所截的弦长等于8，
则圆心到直线的距离等于3，
故直线l与OP垂直，即直线l的斜率不存在，
则l的方程为x=-3；
（2）由题意可得OA=OB=5，
△OAB的面积为$\frac{1}{2}$OA•OB•sin∠AOB=$\frac{25}{2}$sin∠AOB，
当AB与OP垂直时，此时钝角∠AOB取最小值，
此时sin∠AOB取最大值$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，
故△OAB的面积最大值为5$\sqrt{6}$，
由k_OP=$-\frac{1}{3}$得：直线l的斜率为3，
故直线l的方程为：y-1=3（x+3），即3x-y+10=0．

点评 本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系的几何特征是解答的关键，难度中档．