Question

9．在直径AB=2圆上有长度为1的动弦CD，则$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$的最大值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 可以AB所在直线为x轴，直径AB的中点为原点建立平面直角坐标系，并设∠BOC=x，$∠BOD=x+\frac{π}{3}$，从而可以得出A，B，C，D四点的坐标，这样即可求出向量$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{BD}$的坐标，进行数量积的坐标运算，根据两角和差的余弦公式进行化简便可以得出$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}=-cos（x-\frac{π}{3}）-\frac{1}{2}$，从而便可得出$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$的最大值．

解答 解：建立如图所示平面直角坐标系，
设∠BOC=x，则$∠BOD=x+\frac{π}{3}$；
∴C（cosx，sinx），$D（cos（x+\frac{π}{3}），sin（x+\frac{π}{3}））$，且A（-1，0），B（1，0）；
∴$\overrightarrow{AC}=（cosx+1，sinx）$，$\overrightarrow{BD}=（cos（x+\frac{π}{3}）-1，sin（x+\frac{π}{3}））$；
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}=cosxcos（x+\frac{π}{3}）-cosx$$+cos（x+\frac{π}{3}）-1+sinxsin（x+\frac{π}{3}）$
=$cos\frac{π}{3}-cos（x-\frac{π}{3}）-1$
=$-cos（x-\frac{π}{3}）-\frac{1}{2}$；
∴$cos（x-\frac{π}{3}）=-1$时，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$取得最大值$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 考查通过建立平面直角坐标系，利用向量的坐标解决向量问题的方法，三角函数的定义，以及向量数量积的坐标运算，两角和与差的余弦公式，余弦函数的最值．