Question

13．过抛物线y²=4x的焦点的直线与抛物线交于A，B两个不同的点，当|AB|=6时，△OAB（O为坐标原点）的面积是（　　）

• A． $\sqrt{10}$
• B． $\sqrt{6}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），并将直线设为x=my+1，代入抛物线y²=4x，运用抛物线定义和韦达定理计算x₁+x₂和y₁-y₂的值，再由△OAB（O为坐标原点）的面积S=$\frac{1}{2}$|OF||y₁-y₂|得到答案．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
抛物线y²=4x焦点F坐标为（1，0），准线方程为x=-1
依据抛物线定义，|AB|=x₁+x₂+2=6，
∴x₁+x₂=4，
设直线方程为x=my+1代入y²=4x，
得y²-4my-4=0
∴y₁y₂=-4
∵y₁²+y₂²=（y₁-y₂）²+2y₁y₂=（y₁-y₂）²-8=4（x₁+x₂）=16，
∴y₁-y₂=±2$\sqrt{6}$，
△OAB（O为坐标原点）的面积S=$\frac{1}{2}$|OF||y₁-y₂|=$\sqrt{6}$，
故选：B．

点评 本题考查了抛物线的定义和直线与抛物线的关系，解题时要认真体会抛物线定义和韦达定理在解题中的重要应用．