Question

12．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点M（$\frac{3π}{4}$，0）对称，且在区间[0，$\frac{π}{2}$]上是单调函数，求φ和ω的值．

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性、诱导公式求得φ的值，再根据图象的对称性、单调性求得ω的值．

解答 解：∵函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，
可得φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，故φ=$\frac{π}{2}$，f（x）=2cosωx．
其图象关于点M（$\frac{3π}{4}$，0）对称，可得ω•$\frac{3π}{4}$=nπ+$\frac{π}{2}$，n∈Z，∴ω=$\frac{4n}{3}$+$\frac{2}{3}$，n∈Z ①．
根据f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上是单调函数，可得ω•$\frac{π}{2}$≤π，求得0＜ω≤2 ②，
结合①②可得ω=$\frac{2}{3}$ 或ω=2．
综上可得，φ=$\frac{π}{2}$，ω=$\frac{2}{3}$ 或2．

点评 本题主要考查诱导公式，三角函数的奇偶性、单调性，属于中档题．