Question

13．若函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象关于直线x=$\frac{π}{12}$对称，且当x₁，x₂∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$），x₁≠x₂时，f（x₁）=（x₂），则f（x₁+x₂）=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 根据对称轴列出方程解出φ得到f（x）的解析式，根据对称性可知x₁+x₂=$\frac{π}{6}$．

解答 解：令2x+φ=$\frac{π}{2}$+kπ，解得x=$\frac{π}{4}$-$\frac{φ}{2}$+$\frac{kπ}{2}$．
∴f（x）的对称轴为x=$\frac{π}{4}$-$\frac{φ}{2}$+$\frac{kπ}{2}$．
令$\frac{π}{12}$=$\frac{π}{4}$-$\frac{φ}{2}$+$\frac{kπ}{2}$．解得φ=$\frac{π}{3}$+kπ．
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{3}$．
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
∵f（x）关于x=$\frac{π}{12}$对称，当x₁，x₂∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$），x₁≠x₂时，f（x₁）=（x₂），
∴x₁+x₂=$\frac{π}{6}$．
∴f（x₁+x₂）=f（$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了正弦函数的图象与性质，属于中档题．