Question

11．设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁+a₂+a₃=26，S₆=728．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求证：${S}_{n+1}^{2}$-S_nS_n+2=4×3ⁿ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出等比数列的公比，由已知列式求出首项和公比，代入等比数列的通项公式得答案；
（Ⅱ）求出等比数列的前n项和，代入${S}_{n+1}^{2}$-S_nS_n+2证得答案．

解答 （Ⅰ）解：设等比数列{a_n}的公比为q，由a₁+a₂+a₃=26，S₆=728．
得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}（1+q+{q}^{2}）=26}\\{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}=728}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{q=3}\end{array}\right.$．
∴${a}_{n}=2•{3}^{n-1}$；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，a₁=2，q=3，
∴${S}_{n}=\frac{2（1-{3}^{n}）}{1-3}={3}^{n}-1$，
∴${S}_{n+1}={3}^{n+1}-1，{S}_{n+2}={3}^{n+2}-1$，
∴${S}_{n+1}^{2}$-S_nS_n+2=（3ⁿ⁺¹-1）²-（3ⁿ-1）（3ⁿ⁺²-1）
=3²ⁿ⁺²-2•3ⁿ⁺¹+1-3²ⁿ⁺²+3ⁿ+3ⁿ⁺²-1=4×3ⁿ．

点评 本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，考查计算能力，是中档题．