Question

18．已知以点C为圆心的圆经过点A（-1，0）和B（3，4），且圆心在直线x+3y-15=0上．
（1）求直线AB的方程．
（2）求圆C的方程．

Answer 1

分析 （1）由A与B的坐标，利用待定系数法求出直线AB方程即可；
（2）根据圆心在直线x+3y-15=0上，且在线段AB的垂直平分线上，表示出线段AB的垂直平分线，确定出圆心坐标，进而求出半径，表示出圆的方程即可．

解答 解：（1）设直线AB方程为y=kx+b，
把A（-1，0）和B（3，4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{3k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
则直线AB方程为：y=x+1；
（2）∵A（-1，0），B（3，4），
∴线段AB中点坐标为（1，2），直线AB斜率为$\frac{4-0}{3-（-1）}$=1，
∴线段AB垂直平分线方程为y-2=-（x-1），即x+y-3=0，
联立得：$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3=0}\\{x+3y-15=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴圆心坐标为（-3，6），半径r=$\sqrt{（-3+1）^{2}+（6-0）^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
则圆方程为：（x+3）²+（y-6）²=40．

点评 此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，涉及的知识有：待定系数法确定直线解析式，两直线的交点，直线的点斜式方程，以及两点间的距离公式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．