Question

13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4（-1≤x＜0）}\\{sinπx，（x＞0）}\end{array}\right.$，且f（x）-ax＞-1对于定义域内的任意的x恒成立，则a的取值范围是（　　）

• A． [-6，0）
• B． [-6，0]
• C． （-1，0]
• D． [-1，0]

Answer 1

分析 利用参数分离法结合分段函数的性质进行求解即可．

解答 解：由f（x）-ax＞-1得f（x）+1＞ax．
当x＞0时，不等式等价为sinπx+1＞ax，
∵当x＞0时，sinπx+1≥0，
而y=ax过原点，∴此时则a＜0，
当-1≤x＜0时，不等式的等价为x²+5＞ax．
即$\frac{{x}^{2}+5}{x}$＜a，
即x+$\frac{5}{x}$＜a恒成立，
设g（x）=x+$\frac{5}{x}$，则g′（x）=1-$\frac{5}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-5}{{x}^{2}}$，
当-1≤x＜0时，g′（x）＜0，即函数g（x）为减函数，
则g（x）≤g（-1）=-1-5=-6，
即a≥-6，
综上-6≤a＜0，
故选：A．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法结合分类讨论转化为求函数的最值是解决本题的关键．综合性较强．