Question

3．已知函数f（x）=$\frac{a-x}{1+x}$，g（x）=x．
（1）若存在x∈[0，+∞），使得f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围；
（2）在a＞0的条件下，若函数h（x）=f（x）+g（x）在区间[0，+∞）上有最小值为2，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简可得a≥x²+2x=（x+1）²-1，判断函数y=（x+1）²-1的单调性及最值，从而求得；
（Ⅱ）由已知化简h（x）=f（x）+g（x）=$\frac{a-x}{1+x}+x=\frac{a+1}{1+x}-1+x=\frac{a+1}{1+x}+（x+1）-2$，从而结合基本不等式可得2$\sqrt{a+1}$-2=2，从而解得．

解答 解：（Ⅰ）由x∈[0，+∞）及f（x）≥g（x），
即$\frac{a-x}{1+x}≥x$得，
a≥x²+2x=（x+1）²-1，
∵函数y=（x+1）²-1在区间[0，+∞）上单调递增，
∴y∈[0，+∞）．
若存在x∈[0，+∞），使得f（x）≥g（x）成立，
即存在x∈[0，+∞）使得a≥y成立，
从而a≥0，
即a的取值范围是[0，+∞）．
（Ⅱ）由已知得，
h（x）=f（x）+g（x）
=$\frac{a-x}{1+x}+x=\frac{a+1}{1+x}-1+x=\frac{a+1}{1+x}+（x+1）-2$，
∵a＞0，∴a+1＞0，又x∈[0，+∞），
∴x+1＞0，
∴$h（x）=\frac{a+1}{1+x}+（x+1）-2≥2\sqrt{\frac{a+1}{1+x}•（x+1）}-2=2\sqrt{a+1}-2$．
当且仅当$\frac{a+1}{1+x}=x+1$，即$x=\sqrt{a+1}-1$时取等号．
又已知函数h（x）的最小值为2．
∴2$\sqrt{a+1}$-2=2，
即a=3．

点评 本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了基本不等式的应用．