Question

11．已知函数$f（x）={2^x}+\frac{k}{2^x}$是定义域为R的奇函数．
（1）求k的值，并判断y=f（x）的单调性（不要求证明）；
（2）若$f（x）＞\frac{3}{2}$，求x的取值范围；
（3）若$g（x）={4^x}+\frac{1}{4^x}+2mf（x）$在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）为定义在R上的奇函数，从而有f（0）=0，这样便可求出k=-1，从而$f（x）={2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}$，根据指数函数的单调性和增函数的定义即可判断出f（x）为R上的增函数；
（2）可求出f（1）=$\frac{3}{2}$，从而有f（x）＞f（1），根据f（x）的单调性便可得出f（x）$＞\frac{3}{2}$的解集，即x的取值范围；
（3）先得到g（x）=2^2x+2^-2x+2m（2^x-2^-x），可设2^x-2^-x=t，并可得到$t∈[\frac{3}{2}，+∞）$，从而有h（t）=t²+2mt+2，对称轴为t=-m，从而可以讨论-m和$\frac{3}{2}$的关系：分$-m≤\frac{3}{2}$和$-m＞\frac{3}{2}$两种情况，求出每种情况下的h（t）的最小值，根据最小值为-2即可求出m的值．

解答 解：（1）f（x）为R上的奇函数；
∴f（0）=1+k=0；
∴k=-1；
∴$f（x）={2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}$；
x增大时，2^x增大，$\frac{1}{{2}^{x}}$减小，$-\frac{1}{{2}^{x}}$增大；
∴${2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}$增大，即f（x）增大；
∴f（x）在R上单调递增；
（2）由（1）f（x）在R上单调递增，且f（1）=$\frac{3}{2}$；
∴$f（x）＞\frac{3}{2}$的解集为（1，+∞）；
（3）g（x）=2^2x+2^-2x+2m（2^x-2^-x）；
令2^x-2^-x=t，则2^2x+2^-2x=t²+2，由x∈[1，+∞）得t$∈[\frac{3}{2}，+∞）$；
∴h（t）=t²+2mt+2=（t+m）²+2-m²，$t∈[\frac{3}{2}，+∞）$；
①当$-m≤\frac{3}{2}$，即$m≥-\frac{3}{2}$时，h（t）在$[\frac{3}{2}，+∞）$上为增函数；
∴$h（t）_{min}=h（\frac{3}{2}）=\frac{9}{4}+3m+2=-2$，解得$m=-\frac{25}{12}∉（-\frac{3}{2}，+∞）$（舍去）；
②当$-m＞\frac{3}{2}$，即$m＜-\frac{3}{2}$时，$h（t）_{min}=h（-m）=2-{m}^{2}=-2$，解得m=-2，或m=2（舍去）；
∴综上可得，m的值为-2．

点评 考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，以及增函数的定义，指数函数的单调性，根据增函数的定义解不等式的方法，换元法的运用，以及二次函数的对称轴，二次函数的单调性，二次函数的最小值的求法．