Question

1．某射击训练基地教练为了对某运动员的成绩做一分析，随机抽取该名运动员的t次射击成绩作为一个样本，根据此数据做出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：

分组	频数	频率
[8.4，8.9）	9	0.15
[8.9，9.4）	m	0.3
[9.4，9.9）	24	n
[9.9，10.4）	q	p
[10.4，10.9）	3	0.05
合计	t	1

（I）求表中t，p及图中a的值；
（Ⅱ）在所取的样本中，从不少于9.9环的成绩中任取3次，X表示所取成绩不少于10.4的次数，求随机变量X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频数与频率的统计表和频率分布直方图，能求出表中t，p及图中a的值．
（Ⅱ）由题意X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列及数学期望．

解答 解：（Ⅰ）由频数与频率的统计表和频率分布直方图，得：
$\frac{9}{t}=0.15$，解得t=60，
∴n=$\frac{24}{t}=\frac{24}{60}$=0.4，a=$\frac{0.4}{0.5}$=0.8．
∵0.15+0.3+n+p+0.05=1，∴p=0.1．
（Ⅱ）由直方图，得不少于9.9环的成绩的次数为60×0.15=9，
成绩不少于10.4环的次数为3，则X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{0}{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{5}{21}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{6}^{2}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{15}{28}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{6}^{1}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{3}{14}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}{C}_{6}^{0}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{1}{84}$，
∴随机变量X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{5}{21}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{3}{14}$	$\frac{1}{84}$

E（X）=$0×\frac{5}{21}+1×\frac{15}{28}+2×\frac{3}{14}+3×\frac{1}{84}$=1．

点评 本题考查频率直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．