Question

12．已知函数f（x）=xsinx+cosx+a在区间（-π，π）上的极小值为0，极大值为b，求实数a，b值．

Answer 1

分析 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，由余弦函数的图象和性质，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值，从而求出a，b的值．

解答 解：函数f（x）=xsinx+cosx+a，
f′（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx，
令f′（x）＞0，即有xcosx＞0，
即有 $\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{cosx＞0}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{cosx＜0}\end{array}\right.$，
解得，x∈（0，$\frac{π}{2}$）或（2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$）（（k为正整数）
或（2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$）（k为负整数）．
由于x∈（-π，π），则增区间为（0，$\frac{π}{2}$），（-π，-$\frac{π}{2}$），
同理解得，减区间为（$\frac{π}{2}$，π），（-$\frac{π}{2}$，0），
∴f（x）_极小值=f（0）=cos0+a=0①，f（x）_极大值=f（-$\frac{π}{2}$）=f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$+a=b②，
由①②解得：a=-1，b=$\frac{π}{2}$-1．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间，考查三角函数的图象和性质，属于中档题．