Question

2．设函数f（x）=2cos（ωx+φ）对任意的x都有$f（\frac{π}{4}+x）=f（\frac{π}{4}-x）$，若设函数g（x）=3sin（ωx+φ）-1，则$g（\frac{π}{4}）$的值是-1．

Answer 1

分析 根据$f（\frac{π}{4}+x）=f（\frac{π}{4}-x）$，得出x=$\frac{π}{4}$是函数f（x）的一条对称轴，从而求出φ的表达式，再函数g（x）的解析式以及$g（\frac{π}{4}）$的值．

解答 解：∵函数f（x）=2cos（ωx+φ）对任意的x都有$f（\frac{π}{4}+x）=f（\frac{π}{4}-x）$，
∴x=$\frac{π}{4}$是函数f（x）的一条对称轴，
∴cos（$\frac{π}{4}$ω+φ）=±1，
即$\frac{π}{4}$ω+φ=kπ，k∈Z，
∴φ=kπ-$\frac{π}{4}$ω，k∈Z；
∴函数g（x）=3sin（ωx+φ）-1=3sin（ωx+kπ-$\frac{π}{4}$ω）-1，k∈Z；
∴$g（\frac{π}{4}）$=3sin（$\frac{π}{4}$ω+kπ-$\frac{π}{4}$ω）=3sinkπ-1=-1．
故答案为：-1．

点评 本题主要考查三角函数的对称轴的问题．注意正余弦函数在其对称轴上取最值，是基础题目．