Question

7．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x₀∈（0，$\frac{π}{2}$），f（x₀）=$\sqrt{3}$，若g（x）=1+2cos2x，求g（x₀）的值；
（3）若h（x）=1+2cos2x+a，且方程f（x）-h（x）=0在[0，$\frac{π}{2}$]上有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由图求出A，ω，φ的值，可得函数f（x）的解析式；
（2）根据${x_0}∈（0，\frac{π}{2}）$，$f（{x_0}）=\sqrt{3}$，求出x₀，代入g（x）=1+2cos2x，可求g（x₀）的值；
（3）（3）$2sin（{2x+\frac{π}{6}}）-1-2cos2x-a=0在[{0，\frac{π}{2}}]上有解$，$等价于函数y=a和y=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）-1-2cos2x的图象有交点$，进而得到答案．

解答 解：（1）由图知A=2，（解法只要合理，均可给分）（1分）
$\frac{T}{4}=\frac{5}{12}π-\frac{π}{6}=\frac{π}{4}，T=π=\frac{2π}{ω}，ω=2$，（2分）
∴f（x）=2sin（2x+φ），
∴$f（{\frac{π}{6}}）=2$，
∴$2=2sin（{2×\frac{π}{6}+φ}）$，$φ=\frac{π}{6}$，（3分）
∴$f（x）=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）$；  （4分）
（2）$f（{x_0}）=2sin（{2{x_0}+\frac{π}{6}}）=\sqrt{3}，{x_0}=\frac{π}{12}或\frac{π}{4}$，（6分）
$g（{x_0}）=g（{\frac{π}{12}}）=1+2cos\frac{π}{6}=1+\sqrt{3}或1+\sqrt{2}$；  （8分）
（3）$2sin（{2x+\frac{π}{6}}）-1-2cos2x-a=0在[{0，\frac{π}{2}}]上有解$，
$等价于函数y=a和y=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）-1-2cos2x的图象有交点$，（9分）
$y=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）-1-2cos2x=2（{sin2xcos\frac{π}{6}+cos2xsin\frac{π}{6}}）-1-2cos2x$=$\sqrt{3}sin2x-cos2x-1=2sin（{2x-\frac{π}{6}}）-1$，（10分）
∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]，2x-\frac{π}{6}∈[{-\frac{π}{6，}\frac{5π}{6}}]，sin（2x-\frac{π}{6}）∈[{-\frac{1}{2}，1}]，y∈[{-2，1}]$，（11分）
∴a∈[-2，1]．（12分）

点评 本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，熟练掌握正弦型函数的图象和性质，是解答的关键．