Question

12．$f（x）=ax-\frac{1}{x}，g（x）=lnx，a∈R$是常数．
（Ⅰ）求曲线y=g（x）在点P（1，g（1））处的切线l．
（Ⅱ）是否存在常数a，使l也是曲线y=f（x）的一条切线．若存在，求a的值；若不存在，简要说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出切点和函数g（x）的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程；
（Ⅱ）设y=f（x）在x=x_o处的切线为l，求出f（x）的导数，由切点的特点满足切线方程和曲线方程，以及导数的几何意义，解方程可得切点和a的值，即可判断是否存在．

解答 解：（Ⅰ）由题意知，g（1）=0，
又g′（x）=$\frac{1}{x}$，可得切线的斜率为g′（1）=1，
所以直线l的方程为y=x-1．
（Ⅱ）设y=f（x）在x=x_o处的切线为l，
f（x）的导数为f′（x）=a+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
则有$\left\{{\begin{array}{l}{a{x_o}-\frac{1}{x_o}={x_o}-1}\\{a+\frac{1}{x_o^2}=1}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{{x_o}=2}\\{a=\frac{3}{4}}\end{array}}\right.$，
此时f（2）=1，
即当$a=\frac{3}{4}$时，l是曲线y=f（x）在点Q（2，1）的切线．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查存在性问题的解法，设出切点和运用导数的几何意义是解题的关键．