Question

2．如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
（1）求证：AC⊥平面PDB
（2）当PD=$\sqrt{2}$AB=2，设E为PB的中点，求AE与平面ABCD所成角．

Answer 1

分析 （1）根据题意证明AC⊥BD，PD⊥AC，可得AC⊥平面PDB；
（2）根据直线和平面所成角的定义找出直线和平面所成的角，即可得到结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，
∴PD⊥AC，
又BD∩PD=D，
∴AC⊥平面PDB，（3分）
（2）解：设AC∩BD=O，连接OE，由（1）知AC⊥平面PDB于O，
又O，E分别为DB、PB的中点，
∴OE∥PD，OE=$\frac{1}{2}$PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵PD⊥底面ABCD，
∴OE⊥底面ABCD，
则∴∠EAO为AE与平面ABCD所的角，
∵PD=$\sqrt{2}$AB=2，
∴PD=2，AB=$\sqrt{2}$，
在Rt△AOE中，OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵AB=$\sqrt{2}$，
∴A0=1，
∵AB=AO，
∴∠AEO=45°，（7分）
即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．