Question

16．设常数a＞0，且a≠1，数列{x_n}满足log_ax_n+1=1+log_ax_n，且x₁+x₂+…+x₁₀=a，求x₁₁+x₁₂+…+x₂₀．

Answer 1

分析 由已知得$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$=a（a≠1），从而x₁+x₂+…+x₁₀=a．由此能求出x₁₁+x₁₂+…+x₂₀．

解答 解：∵log_ax_n+1=1+log_ax_n=log_aax_n．
∴x_n+1=ax_n．又x_n＞0，
∴$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$=a（a≠1）．数列{x_n}是等比数列公比为a，
∴x₁+x₂+…+x₁₀=$\frac{{x}_{1}（1-{a}^{10}）}{1-a}$=a．
∴x₁₁+x₁₂+…+x₂₀
=$\frac{{x}_{11}（1-{a}^{10}）}{1-a}$=$\frac{{x}_{1}{a}^{10}（1-{a}^{10}）}{1-a}$=a¹⁰•a=a¹¹．

点评 本题考查数列的若十项和的求法，是基础题，解下周是要认真审题，注意对数运算性质的合理运用．