Question

9．△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，已知B=$\frac{π}{3}$，b=$\sqrt{3}$．
（1）若sinA=$\frac{4}{5}$，求边c的长；
（2）若|$\overrightarrow{AC}$$+\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{6}$，求$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用和角公式求出sinC，再使用正弦定理解出c；
（2）作出三角形BC边的中心AD，则AD=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，分别在△ABD和△ABC中使用余弦定理列方程组解出a²，c²．再用余弦定理解出$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$．

解答 解：（1）∵sinA=$\frac{4}{5}$，∴cosA=±$\frac{3}{5}$．
∴sinC=sin（A+B）=$\frac{4}{5}×\frac{1}{2}±\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4±3\sqrt{3}}{10}$．
∵sinC＞0，∴sinC=$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$．
由正弦定理得$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，∴c=$\frac{bsinC}{sinB}$=$\frac{4+3\sqrt{3}}{5}$．
（2）取BC中点D，连结AD，则AD=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$|=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
在△ABC中，由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-3}{2ac}$=$\frac{1}{2}$．
在△ABD中，由余弦定理得cosB=$\frac{{c}^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{3}{2}}{ac}$=$\frac{1}{2}$．
解得c²=$\frac{6（3+\sqrt{2}）}{7}$，a²=$\frac{3（3+\sqrt{2}）}{7}$．
∵a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-2$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2}$=$\frac{30+3\sqrt{2}}{14}$．

点评 本题考查了平面向量的几何意义，正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．