Question

已知函数y=sinωxcosφ+cosωxsinφ，其最小正周期为π，直线x=

π

3

是其图象的一条对称轴，则下面结论正确的是（　　）

• A、关于（

  5π

  12

  ，0）对称，在区间[-

  π

  6

  ，0]上单调递增
• B、关于（

  7π

  12

  ，0）对称，在区间[-

  π

  6

  ，0]上单调递增
• C、关于（

  π

  3

  ，0）对称，在区间[0，

  π

  3

  ]上单调递增
• D、关于（

  π

  3

  ，0）对称，在区间[-

  π

  6

  ，0]上单调递增

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：由两角和的正弦化简，然后由周期为π求得ω的值，再根据直线x=

π

3

是其图象的一条对称轴求得φ的值，然后代值验证四个选项中只有B给出的（

7π

12

，0）为对称中心，再验证单调性确定答案．

解答：解：y=sinωxcosφ+cosωxsinφ
=sin（ωx+φ）．
∵函数的最小正周期为π，
∴ω=2，
则y=sin（2x+φ）．
又x=

π

3

是其图象的一条对称轴，
∴

2π

3

+φ=

π

2

+kπ，
φ=kπ-

π

6

，k∈Z．
∴y=sin(2x+kπ-

π

6

)=±sin(2x-

π

6

)．
∵当x=

5π

12

时，y≠0；
当x=

7π

12

时，y=0；
当x=

π

3

时，y≠0．
且x∈[-

π

6

，0]时，2x-

π

6

∈[-

π

2

，-

π

6

]，函数单调递增．
∴函数y=sinωxcosφ+cosωxsinφ关于（

7π

12

，0）对称，在区间[-

π

6

，0]上单调递增．
故选：B．

点评：本题考查了三角函数周期的求法，考查了三角函数的对称性和单调性，是中档题．