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己知函数f(x)=
1
2
(1+x)2-ln(1+x)

(1)求f(x)的单调区间;
(2)若x∈[
1
e
-1,e-1]
时,f(x)<m恒成立,求m的取值范围;
(3)若设函数g(x)=
1
2
x2+
1
2
x+a
,若g(x)的图象与f(x)的图象在区间[0,2]上有两个交点,求a的取值范围.
分析:(1)先求函数的定义域,然后求导函数,令导数大于0(小于0),从而求出函数的单调区间;
(2)由(1)得f(x)在 x∈[
1
e
-1,e-1]的单调性,进一步求出f(x)max,得到m的范围;
(3)由
1
2
(1+x)2-ln(1+x)=
1
2
x2+
1
2
x+a
得2a=(1+x)-2ln(1+x),构造函数,确定函数的值域,即可求得a的取值范围.
解答:解:(1)函数定义域为(-1,+∞),∵f(x)=
1
2
(1+x)2-ln(1+x)
∴f′(x)=
x(2+x)
1+x

由f'(x)>0及x>-1,得x>0,由f'(x)<0及x>-1,得-1<x<0.
则递增区间是(0,+∞),递减区间是(-1,0);
(2)由f′(x)=
x(2+x)
1+x
=0,得x=0或x=-2
由(1)知,f(x)在[
1
e
-1,0]上递减,在[0,e-1]上递增
又f(
1
e
-1)=
1
2e2
+1,f(e-1)=
1
2
e2
-1,
1
2
e2
-1>
1
2e2
+1
∴x∈[
1
e
-1,e-1]时,[f(x)]max=
1
2
e2
-1,
∴m>
1
2
e2
-1时,不等式f(x)<m恒成立;
(3)由
1
2
(1+x)2-ln(1+x)=
1
2
x2+
1
2
x+a
得2a=(1+x)-2ln(1+x)
令h(x)=(1+x)-2ln(1+x),则h′(x)=
x-1
x+1

∴h(x)在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增
∵h(0)=1,h(1)=2-2ln2,h(3)=3-2ln3,且h(1)>h(2)>h(1)
∴当2a∈(2-2ln2,3-2ln3),即a∈(1-ln2,
3
2
-ln3)时,g(x)的图象与f(x)的图象在区间[0,2]上有两个交点.
点评:本题以函数为载体,考查函数的单调性,考查函数的最值.解决不等式恒成立求参数的范围,一般是将参数分离出来,通过构造函数,利用导数求出函数的单调性进一步求出函数的最值,得到参数的范围.
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己知函数f(x)=
1-a+lnx
x
,a∈R

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(Ⅱ)若lnx-kx<0在(0,+∞)上恒成立,求k的取值范围;
(Ⅲ)当正整数n>8时,比较(
n
 
n+1
与(
n+1
 
n
的大小.

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己知函数f(x)=
x2
1+x2
,那么f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2009)+f(
1
2
)+f(
1
3
)+…+f(
1
2009
)
=(  )

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(2011•深圳二模)己知函数f(x)=
1
2x+1
-
1
2
定义域是R,则f(x)值域是
(-
1
2
1
2
(-
1
2
1
2

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己知函数f(x)=4sin2(
π
4
+x)-2
3
cos2x-1
,且给定条件P:x<
π
4
x>
π
2

(1)求¬P的条件下,求f(x)的最值;
(2)若条件q:-2<f(x)-m<2,且¬p是q的充分条件,求实数m的取值范围.

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(2013•婺城区模拟)己知函数f(x)=
3
sinxcosx+co
s
2
 
x-
1
2
,△ABC
三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(B)=1.
(I)求角B的大小;
(II)若a=
3
,b=1
,求c的值.

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