Question

9．函数f（x）=6cos²$\frac{ωx}{2}$+2$\sqrt{3}$sin$\frac{ωx}{2}$cos$\frac{ωx}{2}$-3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
（1）求函数f（x）的值域及ω的值；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的$\frac{π}{8}$，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[-$\frac{π}{2}$，0]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数恒等变换的应用化简可得f（x）=2$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{3}$），利用正弦函数的性质可求值域，进而可求f（x）的周期为8，利用周期公式即可得解ω的值．
（2）由三角函数平移变换的规律可得g（x）=2$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），由x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，可得2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，进而根据正弦函数的图象和性质可求g（x）的最小值．

解答 （本题满分为10分）
解：（1）∵f（x）=6cos²$\frac{ωx}{2}$+2$\sqrt{3}$sin$\frac{ωx}{2}$cos$\frac{ωx}{2}$-3=2$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{3}$），…．（1分）
∴f（x）的值域为[-2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]．
∵正三角形的高为2$\sqrt{3}$，
∴BC=4，
∴f（x）的周期为8，
∴ω=$\frac{π}{4}$．…．（6分）
（2）由题得g（x）=2$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∵x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，可得：2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，
∴g（x）的最小值为-2$\sqrt{3}$．…．（10分）

点评 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，着重考查三角函数的化简求值与正弦函数的性质，考查分析转化与运算能力，属于中档题．