Question

5．设椭圆中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于$\sqrt{6}$．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线x+y+m=0交椭圆于A、B两点，且OA⊥OB，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的定义，可得2a=$\sqrt{6}$，由离心率公式可得c的值，再由a，b，c的关系可得b的值，进而得到椭圆方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线方程y=-x-m代入椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用判别式大于0和韦达定理，结合向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，可得m的值．

解答 解：（1）由椭圆的定义可得2a=$\sqrt{6}$，
即a=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
可得椭圆的方程为$\frac{2{x}^{2}}{3}$+$\frac{4{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线方程y=-x-m代入椭圆方程，可得
6x²+8mx+4m²-3=0，
由△=64m²-24（4m²-3）＞0，
解得-$\frac{3}{2}$＜m＜$\frac{3}{2}$．
又x₁+x₂=-$\frac{4m}{3}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-3}{6}$，
由OA⊥OB，可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
即为x₁x₂+y₁y₂=0，
即x₁x₂+（-m-x₁）（-m-x₂）=0，
即有2x₁x₂+m²+m（x₁+x₂）=0，
可得$\frac{4{m}^{2}-3}{3}$+m²+m（-$\frac{4m}{3}$）=0，
解得m=±1，满足△＞0．
则m的值为±1．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义和离心率公式，考查直线和椭圆的位置关系，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用判别式大于0和韦达定理，以及向量垂直的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题．