【题目】若数列满足
(
;
,
),称数列
为
数列,记
为其前
项和.
(Ⅰ)写出一个满足,且
的
数列
;
(Ⅱ)若,
,证明:若
数列
是递增数列,则
;反之,若
,则
数列
是递增数列;
(Ⅲ)对任意给定的整数(
),是否存在首项为0的
数列
,使得
?如果存在,写出一个满足条件的
数列
;如果不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)证明见解析(Ⅲ)见解析
【解析】试题分析:(Ⅰ)由题 是一个满足条件的
数列{
.
(Ⅱ)若数列{
是递增数列,则
,推导出{
是首项为2,公差为1的等差数列,从而得到
;反之,若
,由
(当且仅当
时,等号成立),推导出E数列{
是递增数列.(Ⅲ)
即
,知
数列{
中相邻两项
奇偶性相反,即
为偶数
为奇数,由此利用分类讨论思想能求出结果.
试题解析:(Ⅰ)0,1,2,1,0是一个满足条件的数列
.
(答案不唯一,0,1,0,1,0也是一个满足条件的数列
)
(Ⅱ)若数列
是递增数列,则
(
),
所以是首项为2,公差为1的等差数列.
故.
反之,若,由于
(等号成立当且仅当
),
所以
即对,恒有
,故
数列
是递增数列.
(Ⅲ)由即
,知
数列
中相邻两项
、
奇偶性相反,即
,
,
,……为偶数,
,
,
,……为奇数.
①当(
)时,存在首项为0的
数列
,使得
.
例如,构造:
,…,
,…,
,其中
,
,
,
(
)
②当(
)时,也存在首项为0的
数列
,使得
.
例如,构造:
,…,
,…,
,
其中,
,
,
(
),
.
③当或
(
)时,数列
中偶数项
,
,
,……共有
奇数项,且
,
,
,……均为奇数,所以和
为奇数.
又和为偶数,因此
为奇数即
.
此时,满足条件的数列
不存在.
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【题目】一项针对人们休闲方式的调查结果如下:受调查对象总计124人,其中女性70人,男性54人.女性中有43人主要的休闲方式是看电视,另外27人主要的休闲方式是运动;男性中有21人主要的休闲方式是看电视,另外33人主要的休闲方式是运动.
(1)根据以上数据建立一个的列联表;
(2)根据下列提供的独立检验临界值表,你最多能有多少把握认为性别与休闲方式有关系?
独立检验临界值表:
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式: .
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【题目】某学校用“10分制”调查本校学生对教师教学的满意度,现从学生中随机抽取16名,以下茎叶图记录了他们对该校教师教学满意度的分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶):
(Ⅰ)若教学满意度不低于9.5分,则称该生对教师的教学满意度为“极满意”.求从这16人中随机选取3人,至少有1人是“极满意”的概率;
(Ⅱ)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据,若从该校所有学生中(学生人数很多)任选3人,记表示抽到“极满意”的人数,求
的分布列及数学期望.
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【题目】经测算,某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量 (升)与速度
(千米/每小时)
的关系可近似表示为:
.
(Ⅰ)该型号汽车速度为多少时,可使得每小时耗油量最低?
(Ⅱ)已知两地相距120公里,假定该型号汽车匀速从
地驶向
地,则汽车速度为多少时总耗油量最少?
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【题目】已知椭圆:
的短轴长为2,且函数
的图象与椭圆
仅有两个公共点,过原点的直线
与椭圆
交于
两点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)点为线段
的中垂线与椭圆
的一个公共点,求
面积的最小值,并求此时直线
的方程.
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【题目】如图,已知焦点在轴上的椭圆
的中心是原点
,离心率为
,以椭圆
的端州的两端点和两焦点所围成的四边形的周长为8,直线
:
与
轴交于点
,与椭圆
交于不同两点
,
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若,求
的取值范围.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线与椭圆
相交于
两点且
.求证:
的面积为定值.
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