Question

如图，已知半径为的⊙与轴交于、两点，为⊙的切线，切点为，且在第一象限，圆心的坐标为，二次函数的图象经过、两点.

（1）求二次函数的解析式；
（2）求切线的函数解析式；
（3）线段上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形与相似．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）二次函数的解析式为；（2）切线的函数解析式为；
（3）点的坐标为或.

试题分析：（1）先求出圆的方程，并求出圆与轴的交点和的坐标，然后将点和的坐标代入二次函数中解出和的值，从而确定二次函数的解析式；（2）由于切线过原点，可设切线的函数解析式为，利用直线与圆求出值，结合点的位置确定切线的函数解析式；（3）对或进行分类讨论，充分利用几何性质，从而确定点的坐标.
试题解析：（1）由题意知，圆的方程为，令，解得或，
故点的坐标为，点的坐标为，
由于二次函数经过、两点，则有，解得，
故二次函数的解析式为；
（2）设直线所对应的函数解析式为，由于点在第一象限，则，
由于直线与圆相切，则，解得，
故切线的函数解析式为；
（3）由图形知，在中，，，，
在中，，由于，因为，
则必有或，
联立，解得，故点的坐标为，
当时，直线的方程为，联立，于是点的坐标为；
当时，，由于点为线段的中点，故点为线段的中点，
此时点的坐标为.
综上所述，当点的坐标为或时，.