Question

已知函数f（x）=

1

3

ax³+

1

2

bx²+cx．若方程f（x）=0有三个根分别为x₁、x₂、x₂，且x₁+x₂+x₃=-3，x₁x₂=-9．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间（-2，1）上单调递减，且函数f（x）的图象与直线y=1有且仅有一个公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据条件先确定0是方程f（x）=0的一个根，从而利于根与系数之间的关系求出a，b，c的关系，然后利用导数研究函数的单调性．
（2）利用函数的单调性确定a的符号，利用函数在在区间（-2，1）上单调递减，则有f（1）＜1＜f（-2），解不等式即可．

解答：解：（1）∵x=0是方程f（x）=0的一个根，且x₁x₂=-9≠0，
∴必有x₃=0，a≠0．
∴x₁+x₂=-3，x₁x₂=-9．
f（x）=

1

3

ax³+

1

2

bx²+cx=x（

1

3

ax²+

1

2

bx+c），
即x₁，x₂是方程

1

3

ax²+

1

2

bx+c=0的两个根，
则x₁+x₂=-3=-

3b

2a

，x₁x₂=-9=

3c

a

，
解得b=2a，c=-3a，
所以f （x ）=

1

3

ax³+ax²-3ax，
求导得f'（x ）=ax²+2a x-3a=a（x-1）（x+3）
①a＜0，由f'（x）＞0得，-3＜x＜1，此时在区间（-3，1）上单调递增．
由f'（x）＜0得，x＞1或x＜-3，此时函数单调递减，减区间为（-∞，-3）和（1，+∞）．
②a＞0，由f'（x）＞0得x＞1或x＜-3，此时函数单调递增，增区间为（-∞，-3）和（1，+∞）．
由f'（x）＜0得，-3＜x＜1，此时在区间（-3，1）上单调递减，减区间为（-3，1）．
（2）由（1）知，若a＜0，函数在（-3，1）上单调递增．，此时不满足f（x）在区间（-2，1）上单调递减，所以a＜0不成立．
∴必有a＞0．此时f（1）=

1

3

a+a-3a=-

5

3

a＜0，f(-2)=

1

3

a(-2)3+(-2)2a-3a×(-2)=

22a

3

＞0，
∴要使函数f（x）的图象与直线y=1有且仅有一个公共点，
则只需让f(-2)=

22a

3

＞1即可，解得a＞

3

22

．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用根与系数之间的关系确定三次函数的根的关系是解决本题的关键，综合性较强，考查学生的运算能力．