【题目】已知函数,
.
(1)若函数为偶函数,求实数
的值;
(2)存在实数,使得不等式
成立,求实数
的取值范围;
(3)若方程在
上有且仅有两个不相等的实根,求实数
的取值范围.
【答案】(1) (2)
(3)
【解析】
(1)根据函数的奇偶性的定义,可求得实数
的值;
(2)由,得
,由于
,对a进行参数分离得
,运用函数的单调性和不等式的存在性,可求得实数
的取值范围;
(3)分①当时,②当
,③当
时,分别讨论方程的根的情况,可求得实数
的取值范围.
(1)因为函数为偶函数,即函数
为偶函数,所以
,
所以或
,解得
,
所以实数的值为1;
(2),即
,则
,∵
,
∴,
令,则
的定义域为
,
设,则
,
当时,
,当
时,
,
所以在
上单调递增,在
上单调递减,
因为是定义域为
的奇函数,所以
在
上单调递增,在
上单调递减,
∵,所以
在
上单调递增,在
上单调递减,而
,
,
∴,得到
;
(3)①当时,
在
上单调递增,此时方程
没有根;
②当,
,即
时,因为
有两个正根,
所以,得
,
③当时,设方程
的两个根为
,则有
,结合图形可知
在
上必有两个不同的实根.
综上,实数的取值范围为
.
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【题目】定义在上的函数
,如果满足:对任意
,存在常数
,都有
成立,则称
是
上的有界函数,其中
称为函数
的一个上界.已知函数
,
.
(1)若函数为奇函数,求实数
的值;
(2)在(1)的条件下,求函数在区间
上的所有上界构成的集合;
(3)若函数在
上是以3为上界的有界函数,求实数
的取值范围.
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【题目】已知集合,其中
,
是函数
定义城内任意不相等的两个实数.
(1)若,同时
,求证:
;
(2)判断是否在集合A中,并说明理由;
(3)设函数的定义域为B,函数
的值域为C.函数
满足以下3个条件:
①,②
,③
.试确定一个满足以上3个条件的函数
要对满足的条件进行说明).
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【题目】从某校期中考试数学试卷中,抽取样本,考察成绩分布,将样本分成5组,绘成频率分布直方图,图中各小组的长方形面积之比从左至右依次为1:3:6:4:2,第一组的频数是4.
(1)求样本容量及各组对应的频率;
(2)根据频率分布直方图估计成绩的平均分和中位数(结果保留两位小数).
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【题目】已知函数.
(1)求函数y=f(x)的单调区间;
(2)若对于x∈(0,+∞)都有成立,试求m的取值范围;
(3)记g(x)=f(x)+x﹣n﹣3.当m=1时,函数g(x)在区间[e﹣1,e]上有两个零点,求实数n的取值范围.
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【题目】某工厂有一个容量为300吨的水塔,每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂的生产和生活用水.已知该厂生活用水为每小时10吨,生产用水量(吨)与时间
(单位:小时,且规定早上6时
)的函数关系式为:
,水塔的进水量分为10级,第一级每小时进水10吨,以后每提高一级,每小时进水量就增加10吨.若某天水塔原有水100吨,在开始供水的同时打开进水管.
(1)若进水量选择为级,水塔中剩余水量为
吨,试写出
与
的函数关系式;
(2)如何选择进水量,既能始终保证该厂的用水(水塔中水不空)又不会使水溢出?
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【题目】如图,边长为2的正方形所在的平面与半圆弧
所在平面垂直,
是
上异于
,
的点.
(1)证明:平面平面
;
(2)当三棱锥体积最大时,求面
与面
所成二面角的正弦值.
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