Question

【题目】已知函数．

（1）求函数y＝f（x）的单调区间；

（2）若对于x∈（0，+∞）都有成立，试求m的取值范围；

（3）记g（x）＝f（x）+x﹣n﹣3．当m＝1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数n的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）在（0，2m）内单调递减，在（2m，+）内单调递增； （2）（，+）； （3）.

【解析】

（1）首先对函数求导，令导数等于零，求得自变量的值，从而判断出导函数在相应区间上的符号，进而得到函数的单调区间；

（2）将恒成立问题转化为最值来处理，结合第一问的结果，判断出函数的最小值点，从而求得函数的最小值，得到结果；

（3）将代入函数解析式，将零点问题转化为函数图象交点个数问题，求导研究函数单调性，求得结果.

（1），（，）.

令，解得.

可得：函数在（0，2m）内单调递减，在（2m，+）内单调递增.

（2）对于（0，+）都有成立（0，+），

由（1）可得：时，函数取得最小值，

.

化为：，，解得.

∴m的取值范围是（，+）.

（3）记.

当时，函数.

函数在区间上有两个零点函数与函数有两个不同交点，.

可知：函数在内单调递减，在内单调递增.

时，函数取得最小值，.

由，.

而.

.

.

即n的取值范围是.