【题目】已知函数.
(1)求函数y=f(x)的单调区间;
(2)若对于x∈(0,+∞)都有成立,试求m的取值范围;
(3)记g(x)=f(x)+x﹣n﹣3.当m=1时,函数g(x)在区间[e﹣1,e]上有两个零点,求实数n的取值范围.
【答案】(1)在(0,2m)内单调递减,在(2m,+)内单调递增; (2)(
,+
); (3)
.
【解析】
(1)首先对函数求导,令导数等于零,求得自变量的值,从而判断出导函数在相应区间上的符号,进而得到函数的单调区间;
(2)将恒成立问题转化为最值来处理,结合第一问的结果,判断出函数的最小值点,从而求得函数的最小值,得到结果;
(3)将代入函数解析式,将零点问题转化为函数图象交点个数问题,求导研究函数单调性,求得结果.
(1),(
,
).
令,解得
.
可得:函数在(0,2m)内单调递减,在(2m,+
)内单调递增.
(2)对于(0,+
)都有
成立
(0,+
),
由(1)可得:时,函数
取得最小值,
.
化为:,
,解得
.
∴m的取值范围是(,+
).
(3)记.
当时,函数
.
函数在区间
上有两个零点
函数
与函数
有两个不同交点,
.
可知:函数在
内单调递减,在
内单调递增.
时,函数
取得最小值,
.
由,
.
而.
.
.
即n的取值范围是.
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【题目】某地区某农产品近几年的产量统计如表:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
年份代码t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
年产量y(万吨) | 6.6 | 6.7 | 7 | 7.1 | 7.2 | 7.4 |
(Ⅰ)根据表中数据,建立关于的线性回归方程
;
(Ⅱ)根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量.
附:对于一组数据,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
,
.(参考数据:
,计算结果保留小数点后两位)
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【题目】已知函数,
.
(1)若函数为偶函数,求实数
的值;
(2)存在实数,使得不等式
成立,求实数
的取值范围;
(3)若方程在
上有且仅有两个不相等的实根,求实数
的取值范围.
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【题目】如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)请画出表中数据的散点图;
(2)请根据表中提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程;
(3)根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗多少吨标准煤?
(附:,
)
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【题目】为了调查患胃病是否与生活不规律有关,在患胃病与生活不规律这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是( )
A. 越大,“患胃病与生活不规律没有关系”的可信程度越大.
B. 越大,“患胃病与生活不规律有关系”的可信程度越小.
C.若计算得 ,经查临界值表知
,则在
个生活不规律的人中必有
人患胃病.
D.从统计量中得知有 的把握认为患胃病与生活不规律有关,是指有
的可能性使得推断出现错误.
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【题目】“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏,其规则是:用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布;两个玩家同时出示各自手势次记为
次游戏,“石头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,“布”胜“石头”;双方出示的手势相同时,不分胜负.现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的.
(1)求在次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率;
(2)若玩家甲、乙双方共进行了次游戏,其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量
,求
的分布列及
.
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【题目】为了提高学生的身体素质,某校高一、高二两个年级共名学生同时参与了“我运动,我健康,我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动.为了了解学生的运动状况,采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取
名和
名学生进行测试.下表是高二年级的
名学生的测试数据(单位:个/分钟):
学生编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
跳绳个数 | 179 | 181 | 168 | 177 | 183 |
踢毽个数 | 85 | 78 | 79 | 72 | 80 |
(1)求高一、高二两个年级各有多少人?
(2)设某学生跳绳个/分钟,踢毽
个/分钟.当
,且
时,称该学生为“运动达人”.
①从高二年级的学生中任选一人,试估计该学生为“运动达人”的概率;
②从高二年级抽出的上述名学生中,随机抽取
人,求抽取的
名学生中为“span>运动达人”的人数
的分布列和数学期望.
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