Question

【题目】已知函数，记在点处的切线为.

（1）当时，求证：函数的图像（除切点外）均为切线的下方；

（2）当时，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）求得f（x）的导数，考虑极值点以及函数的凹凸性，即可得证；

（2）讨论a＜0，a＝0，a＞1，a＝1，0＜a＜1时，函数h（x）＝f（x）﹣2lnx的导数和单调性，最值，即可得到所求g（x）的最小值．

（1）设切线方程为

记 .

，，，

,

在上单调递减.

，，在上单调递增，

，，在上单调递减.

∴，即，当且仅当时取“”.

故命题成立

（2）.

设，，

1)当时，，则在上单调递减，且.

∴，在上单调递增.

∴

2)当时，，

设，，有两根，，

，，不妨令，

，，即，在上单调递减，

，，即，在上单调递增，

①当，即，，在上单调递增.

，∴；

②当，即时，，

，在上单调递减，在上单调递增，

，

，

存在使得，

∴.

综上可得.