【题目】已知函数,记
在点
处的切线为
.
(1)当时,求证:函数
的图像(除切点外)均为切线
的下方;
(2)当时,求
的最小值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)求得f(x)的导数,考虑极值点以及函数的凹凸性,即可得证;
(2)讨论a<0,a=0,a>1,a=1,0<a<1时,函数h(x)=f(x)﹣2lnx的导数和单调性,最值,即可得到所求g(x)的最小值.
(1)设切线方程为
记
.
,
,
,
,
在
上单调递减.
,
,
在
上单调递增,
,
,
在
上单调递减.
∴,即
,当且仅当
时取“
”.
故命题成立
(2).
设,
,
1)当时,
,则
在
上单调递减,且
.
∴,
在
上单调递增.
∴
2)当时,
,
设,
,
有两根
,
,
,
,不妨令
,
,
,即
,
在
上单调递减,
,
,即
,
在
上单调递增,
①当,即
,
,
在
上单调递增.
,∴
;
②当,即
时,
,
,
在
上单调递减,在
上单调递增,
,
,
存在使得
,
∴.
综上可得.
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【题目】下列四个命题:
①函数是奇函数且在定义域上是单调递增函数;
②函数有两个零点,则
;
③函数,则
的解集为
;
④函数的单调递减区间为
.
其中正确命题的序号为__________.
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【题目】甲乙两人同时各接受了600个零件的加工任务,甲比乙每分钟加工的数量多,两人同时开始加工,加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工,直到他们完成任务.如图表示甲比乙多加工的零件数量y(个)与加工时间x(分)之间的函数关系,A点横坐标为10,B点坐标为,C点横坐标为105.则甲每分钟加工的数量是_______,点D的坐标是_______.
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【题目】如图,在直角三棱柱中,
、
分别为
、
的中点,
,
.
(1)求证:平面
;
(2)求证:平面平面
;
(3)若直线和平面
所成角的正弦值等于
,求二面角
的余弦值.
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【题目】已知椭圆:
过点
,离心率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2),
是过点
且互相垂直的两条直线,其中
交圆
于
,
两点,
交椭圆
于另一个点
,求
面积取得最大值时直线
的方程.
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【题目】某商场举行优惠促销活动,顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种.
方案一:每满100元减20元;
方案二:满100元可抽奖一次.具体规则是从装有2个红球、2个白球的箱子随机取出3个球(逐个有放回地抽取),所得结果和享受的优惠如下表:(注:所有小球仅颜色有区别)
红球个数 | 3 | 2 | 1 | 0 |
实际付款 | 7折 | 8折 | 9折 | 原价 |
(1)该商场某顾客购物金额超过100元,若该顾客选择方案二,求该顾客获得7折或8折优惠的概率;
(2)若某顾客购物金额为180元,选择哪种方案更划算?
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