【题目】设函数,,其中.若函数在区间上有且仅有一个零点,则实数的取值范围是__.
【答案】或
【解析】
由g(x)=f(x)﹣4mx﹣m=0得f(x)=4mx+m,分别作出两个函数的图象,利用数形结合建立不等式关系进行求解即可.
由题可得.作函数y=f(x)的图象,如图所示
函数g(x)零点的个数函数y=f(x)的图象与直线y=4mx+m交点的个数.
当直线y=4mx+m过点(1,1)时,;当直线y=4mx+m与曲线(﹣1<x<0)相切时,(m<0),
由4mx+m
得4mx+m,
即﹣x=(4mx+m)(x+1),
整理得4mx2+(5m+1)x+m=0,
则判别式△=(5m+1)2﹣16m2=0,且﹣10
即9m2+10m+1=0,
可求得m=﹣1或m.
当m时,﹣10不成立,
故此时m=﹣1,
根据图象可知当m或m=﹣1时,函数g(x)在区间(﹣1,1)上有且仅有一个零点.
故答案为或.
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【题目】“中国人均读书4.3本(包括网络文学和教科书),比韩国的11本.法国的20本.日本的40本.犹太人的64本少得多,是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用.出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的,而且和其他国家相比,我国国民的阅读量如此之低,也和我国是传统的文明古国.礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣,特举办读书活动,准备进一定量的书籍丰富小区图书站,由于不同年龄段需看不同类型的书籍,为了合理配备资源,现对小区内看书人员进行年龄调查,随机抽取了一天名读书者进行调查,将他们的年龄分成6段: , , , , , 后得到如图所示的频率分布直方图.问:
(1)估计在40名读书者中年龄分布在的人数;
(2)求40名读书者年龄的平均数和中位数;
(3)若从年龄在的读书者中任取2名,求恰有1名读书者年龄在的概率.
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【题目】某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行,每个阶段选手要回答一个问题.规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛,否则即遭淘汰.已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是,且各阶段通过与否相互独立.
(1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率;
(2)设该选手在竞赛中回答问题的个数为,求的分布列与均值.
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【题目】在圆上任取一点,过点作轴的垂线段,为垂足.当点在圆上运动时,线段的中点形成轨迹.
(1)求轨迹的方程;
(2)若直线与曲线交于两点,为曲线上一动点,求面积的最大值
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【题目】已知椭圆的两个焦点分别为和,过点的直线与椭圆交于轴上方的,两点,且.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)(ⅰ)求直线的斜率;
(ⅱ)设点与点关于坐标原点对称,直线上有一点在的外接圆上,求的值.
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【题目】德阳中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程,要求初等代数、初等几何都要合格,且初等数论和微积分初步至少有一门合格,则能取得参加数学竞赛复赛的资格,现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训,每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立,其合格的概率均相同,(见下表),且每一门课程是否合格相互独立,
课 程 | 初等代数 | 初等几何 | 初等数论 | 微积分初步 |
合格的概率 |
(1)求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率;
(2)记表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数,求的分布列及期望.
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