Question

【题目】已知椭圆与直线都经过点.直线与平行，且与椭圆交于两点，直线与轴分别交于两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）证明： 为等腰三角形.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：（1）将点M分别代入直线方程及椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）设直线m的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得kMA+kMB=0，即可求得△MEF为等腰三角形．

试题解析：

（1）由直线都经过点，则a=2b，将代入椭圆方程： ，解得：b2=4，a2=16，椭圆的方程为。

（2）设直线为： ，

联立: ，得

于是

设直线的斜率为，要证为等腰三角形，只需

，

，

，

，

所以为等腰三角形.

点睛: 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，证明三角形为等腰三角形转化为证明斜率之和为0是关键.