Question

4．已知数列{a_n}中，a₂=2，其前n项和S_n满足：${S_n}=\frac{{n（{{a_n}-{a_1}}）}}{2}$（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若${b_n}=n•{2^{a_n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用数列递推关系、等差数列的定义及其通项公式即可得出．
（II）利用错位相减法、等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由题意有${a_1}=\frac{{1•（{{a_1}-{a_1}}）}}{2}=0$．
所以${S_n}=\frac{{n{a_n}}}{2}$，则有${S_{n-1}}=\frac{{（{n-1}）{a_{n-1}}}}{2}$（n≥2），
所以2（S_n-S_n-1）=na_n-（n-1）a_n-1，
即（n-2）a_n=（n-1）a_n-1（n≥2）．
所以（n-1）a_n+1=na_n，
两式相加得2（n-1）a_n=（n-1）（a_n+1+a_n-1），即2a_n=a_n+1+a_n-1（n≥2），
即a_n+1-a_n=a_n-a_n-1（n≥2，n∈N），
故数列{a_n}是等差数列．
又a₁=0，a₂=2，所以公差d=2，
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知${b_n}=n•{2^{2n-2}}$，
则${T_n}=1•{2^0}+2•{2^2}+3•{2^4}+$…+n•2^2n-2，
两边同乘以2²得$4{T_n}=1•{2^2}+2•{2^4}+3•{2^6}$+…+（n-1）•2^2n-2+n•2²ⁿ，
两式相减得$-3{T_n}=1•{2^0}+{2^2}+{2^4}+…$+2^2n-2-n•2²ⁿ，
即$-3{T_n}=\frac{{1•（{1-{4^n}}）}}{1-4}-n•{2^{2n}}$=$\frac{{{2^{2n}}}}{3}-\frac{1}{3}-n•{2^{2n}}$，
所以${T_n}=\frac{{（{3n-1}）•{2^{2n}}+1}}{9}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．