Question

12．已知正整数λ，μ为常数，且λ≠1，无穷数列{a_n}的各项均为正整数，其前n项和为S_n，且S_n=λa_n-μ．n∈N^*．记数列{a_n}中任意不同两项的和构成的集合为A．
（1）求证：数列{a_n}为等比数列，并求λ的值；
（2）若2015∈A，求μ的值；
（3）已知m≥1，求集合{x|3μ•2^n-1＜x＜3μ•2ⁿ，x∈A}的元素个数．

Answer 1

分析 （1）S_n=λa_n-μ．当n≥2时，S_n-1=λa_n-1-μ，可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{λ}{λ-1}$，数列{a_n}为等比数列，各项均为正整数，则公比$\frac{λ}{λ-1}$=1+$\frac{1}{λ-1}$为正整数，即可得出正整数λ．
（2）由（1）可得：S_n=2a_n-μ，可得a_n=μ•2^n-1，因此A={μ（2^i-1+2^j-1）|1≤i＜j，i，j∈N^*}，由于2015∈A，可得2015=μ（2^i-1+2^j-1）=μ•2^i-1（1+2^j-i）=5×13×31，利用2^i-1为偶数时，上式不成立，因此必有2^i-1=1，可得i=1，即可得出j，μ．
（3）当n≥1时，集合B_n={x|3μ•2^n-1＜x＜3μ•2ⁿ，x∈A}，即3μ•2^n-1＜μ（2^i-1+2^j-1）＜3μ•2ⁿ，1≤i＜j，i，j∈N^*．B_n中元素个数，等价于满足3×2ⁿ＜2ⁱ+2^j＜3×2ⁿ⁺¹的不同解（i，j），只有j=n+2才成立，利用3×2ⁿ＜2¹+2ⁿ⁺²＜2²+2ⁿ⁺²＜…＜2ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²=3×2ⁿ⁺¹，即可得出．（n∈N^*）．

解答 （1）证明：∵S_n=λa_n-μ．当n≥2时，S_n-1=λa_n-1-μ，
∴a_n=λa_n-λa_n-1，λ≠1，∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{λ}{λ-1}$，
∴数列{a_n}为等比数列，
∵各项均为正整数，则公比$\frac{λ}{λ-1}$=1+$\frac{1}{λ-1}$为正整数，λ为正整数，
∴λ=2．
（2）解：由（1）可得：S_n=2a_n-μ，当n=1时，a₁=μ，则a_n=μ•2^n-1，
∴A={μ（2^i-1+2^j-1）|1≤i＜j，i，j∈N^*}，
∵2015∈A，∴2015=μ（2^i-1+2^j-1）=μ•2^i-1（1+2^j-i）=5×13×31，
∵j-i＞0，则1+2^j-i必为不小于3的奇数，
∵2^i-1为偶数时，上式不成立，因此必有2^i-1=1，∴i=1，
∴μ（1+2^j-1）=5×13×31，
只有j=3，μ=403或j=7，μ=31时，上式才成立，
∴μ=31或403．
（3）解：当n≥1时，集合B_n={x|3μ•2^n-1＜x＜3μ•2ⁿ，x∈A}，
即3μ•2^n-1＜μ（2^i-1+2^j-1）＜3μ•2ⁿ，1≤i＜j，i，j∈N^*．B_n中元素个数，
等价于满足3×2ⁿ＜2ⁱ+2^j＜3×2ⁿ⁺¹的不同解（i，j），
若j＞n+2，则2ⁱ+2^j≥2ⁱ+2ⁿ⁺³=2ⁱ+4×2ⁿ⁺¹＞3×2ⁿ⁺¹，矛盾．
若j＜n+2，则2ⁱ+2^j≤2ⁱ+2ⁿ⁺¹≤2ⁿ+2ⁿ⁺¹=3×2ⁿ，矛盾．
∴j=n+2，又∵（2¹+2ⁿ⁺²）-3×2ⁿ=2+4×2ⁿ-3×2ⁿ=2+2ⁿ＞0，
∴3×2ⁿ＜2¹+2ⁿ⁺²＜2²+2ⁿ⁺²＜…＜2ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²=3×2ⁿ⁺¹，
即i=1，2，…，n时，共有n个不同的解（i，j），即共有n个不同的x∈B_n，
∴b_n=n（n∈N^*）．

点评 本题考查了等比数列的定义及其通项公式、递推式的应用、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．