Question

3．已知以O为中心的双曲线C的一个焦点为F，P为C上一点，M为PF的中点，若△OMF为等腰直角三角形，则C的离心率等于（　　）

• A． $\sqrt{2}-1$
• B． $\sqrt{2}+1$
• C． $2+\sqrt{2}$
• D． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

Answer 1

分析 根据题意，作出双曲线的图形，设双曲线的另一个焦点为G，且PG=2c，分析可得△GPF也是等腰直角三角形，进而分析可得|PG|=|GF|=2c，|PF|=2$\sqrt{2}$c，由双曲线的定义可得2a=||PF|-|PG||=（2$\sqrt{2}$-2）c，由双曲线的离心率公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，如图：设双曲线的另一个焦点为G，设PG=2c，
O为FG的中点，M为PF的中点，则OM为三角形PFG的中位线，
故△OMF∽△GPF，
故△GPF也是等腰直角三角形，
分析有|PG|=|GF|=2c，
则|PF|=2$\sqrt{2}$c，
则2a=||PF|-|PG||=（2$\sqrt{2}$-2）c，
该双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}-2}$=$\sqrt{2}$+1；
故选：B．

点评 本题考查双曲线的几何性质，关键是依据题意找到a，c之间的等量关系．