Question

15．在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=4+t\\ y=3t+6\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为$ρtanθ=\frac{8}{sinθ}$．

（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）求直线l被曲线C截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）直线l的参数方程消去参数t，能求出直线l的普通方程；曲线C的极坐标方程转化为ρ²sin²θ=8ρcosθ，由此能求出曲线C的直角坐标方程．
（2）抛物线y²=8x的焦点是F（2，0），且直线l过抛物线的焦点F，由$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-6}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，得9x²-44x+36=0，利用韦达定理和焦点弦公式能求出直线l被曲线C截得的弦长．

解答 解：（1）∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=4+t\\ y=3t+6\end{array}\right.$（t为参数），
∴消去参数t得直线l的普通方程为y=3x-6，
∵曲线C的极坐标方程为$ρtanθ=\frac{8}{sinθ}$，
∴ρtanθsinθ=8，即ρsin²θ=8cosθ，
∴ρ²sin²θ=8ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为y²=8x．
（2）∵抛物线y²=8x的焦点是F（2，0），且直线l过抛物线的焦点F，
设直线l与曲线C交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-6}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，得9x²-44x+36=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{44}{9}$，
∴|AB|=${x}_{1}+{x}_{2}+p=\frac{44}{9}+4=\frac{80}{9}$，
∴直线l被曲线C截得的弦长为$\frac{80}{9}$．

点评 本题考查直线的普通方曲线的直角坐标方程的求法，考查线段长的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．