Question

6．已知f（x+1）=x²-2x
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在x∈[0，5]时．关于x的方程f（x）=k总有实数解，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用配凑法或者换元法求解该类函数的解析式，注意复合函数中的自变量与简单函数自变量之间的联系与区别
（2）k的取值范围就是函数f（x）在x∈[0，5]的值域，根据二次函数的性质，求出值域即可．

解答 解：（1）由f（x+1）=x²-2x，得到f（x+1）=（x+1-1）²-2（x+1）+2故f（x）=（x-1）²-2x+2=（x-2）²-1=x²-4x+3
故f（x）=x²-4x+3．
（2）∵f（x）=x²-4x+3的对称轴为x=2，∴函数f（x）在（0，2）递减，在（2，5）递增．
f（0）=3，f（2）=-1，f（5）=8
函数f（x）在x∈[0，5]的值域为[-1，8]，
∴在x∈[0，5]时．方程f（x）=k总有实数解，k的取值范围为[-1，8]．

点评 本题考查了函数的解析式求解，二次函数值域，考查了函数与方程思想，属于中档题．