Question

12．如图，平面PAB⊥平面α，AB?α，且△PAB为正三角形，点D是平面α内的动点，ABCD是菱形，点O为AB中点，AC与OD交于点Q，I?α，且l⊥AB，则PQ与I所成角的正切值的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{-3+\frac{3\sqrt{7}}{2}}$
• B． $\sqrt{3+\frac{3\sqrt{7}}{2}}$
• C． $\sqrt{7}$
• D． 3

Answer 1

分析 由题意画出图形，建立空间直角坐标系，设AB=2，∠OAD=θ（0＜θ＜π），把异面直线所成角的余弦值化为含有θ的三角函数式，换元后利用导数求最值．

解答 解：如图，不妨以CD在AB前侧为例．
以O为原点，分别以OB、OP所在直线为y、z轴建立空间直角坐标系，
设AB=2，∠OAD=θ（0＜θ＜π），则P（0，0，$\sqrt{3}$），
D（2sinθ，-1+2cosθ，0），
∴Q（$\frac{2}{3}sinθ$，$\frac{2}{3}cosθ-\frac{1}{3}$，0），
∴$\overrightarrow{QP}=（-\frac{2}{3}sinθ，\frac{1}{3}-\frac{2}{3}cosθ，\sqrt{3}）$，
设α与AB垂直的向量$\overrightarrow{n}=（1，0，0）$，则PQ与l所成角为α．
则|cosα|=|$\frac{\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-\frac{2}{3}sinθ}{\sqrt{\frac{32}{9}-\frac{4}{9}cosθ}}$|=$\frac{sinθ}{\sqrt{8-cosθ}}$=$\sqrt{\frac{1-co{s}^{2}θ}{8-cosθ}}$．
令t=cosθ（-1＜t＜1），则s=$\frac{1-{t}^{2}}{8-t}$，s′=$\frac{{t}^{2}-16t+1}{（8-t）^{2}}$，
令s′=0，得t=8-$3\sqrt{7}$，
∴当t=8-$3\sqrt{7}$时，s有最大值为16-6$\sqrt{7}$．
则cosα有最大值为$\sqrt{16-6\sqrt{7}}$，此时sinα最小值最小为$\sqrt{6\sqrt{7}-15}$．
∴正切值的最小值为$\sqrt{\frac{6\sqrt{7}-15}{16-6\sqrt{7}}}$=$\sqrt{3+\frac{3\sqrt{7}}{2}}$．
故选：B．

点评 本题考查异面直线所成角，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量及导数求最值，属难题．