Question

【题目】已知椭圆的离心率为，椭圆C的长轴长为4.

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知直线与椭圆C交于两点，是否存在实数k使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，当时，以线段为直径的圆恰好经过坐标原点O.

【解析】

（1）设椭圆的焦半距为，利用离心率为，椭圆的长轴长为4．列出方程组求解，推出，即可得到椭圆的方程．

（2）存在实数使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点．设点，，，，将直线的方程代入，化简，利用韦达定理，结合向量的数量积为0，转化为：．求解即可．

解：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得，解得，

所以，故所求椭圆C的方程为

（2）存在实数k使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点O.理由如下：

设点，，将直线的方程代入，

并整理，得.（*）

则，

因为以线段为直径的圆恰好经过坐标原点O，所以，即.

又，于是，

解得，

经检验知：此时（*）式的，符合题意.

所以当时，以线段为直径的圆恰好经过坐标原点O