Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）是否存在一个正实数，满足当时，恒成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）时，的增函数区间为，无减函数区间；时，的增函数区间为，减函数区间为；时，的增函数区间为，减函数区间为；（2）存在， .

【解析】

（1）根据题意，分析函数定义域，求导，分类讨论参数不同的取值范围时函数单调性，即可求解；

（2）根据题意，，由（1）知的最大值为，若对任意实数，恒成立，只须使即可.又因为，所以不等式等价于：，即：，设，对求导，分析单调性，讨论的范围，判断不等式成立条件.

（1）函数的定义域为，

①若在上为增函数；

②若，∵，∴当时，；当时，；

所以在上为增函数，在上为减函数；

③若，∵，∴当时，；当时，；

所以在上为减函数，在为增函数

综上可知，时，的增函数区间为，无减函数区间；

时，的增函数区间为，减函数区间为；

时，的增函数区间为，减函数区间为；

（2）由（1）知，时，的最大值为，

若对任意实数，恒成立，只须使即可.

又因为，所以不等式等价于：，

即：，

设，则，

∴当时，；当时，

所以，在上为减函数，在上为增函数，

∴当时，，不等式不成立，

当时，，不等式不成立，

当时，，不等式成立，

∴存在正实数且时，满足当时，恒成立.